|
|
|
|
公众号矩阵

动态规划:给我n个节点,我能知道可以组成多少个不同的二叉搜索树

从递归公式上来讲,dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量] 中以j为头结点左子树节点数量为0,也需要dp[以j为头结点左子树节点数量] = 1, 否则乘法的结果就都变成0了。

作者:程序员Carl 来源:代码随想录|2021-01-14 08:39

不同的二叉搜索树

题目链接:https://leetcode-cn.com/problems/unique-binary-search-trees/

给定一个整数 n,求以 1 ... n 为节点组成的二叉搜索树有多少种?

示例:

思路

这道题目描述很简短,但估计大部分同学看完都是懵懵的状态,这得怎么统计呢?

了解了二叉搜索树之后,我们应该先举几个例子,画画图,看看有没有什么规律,如图:

n为1的时候有一棵树,n为2有两棵树,这个是很直观的。

来看看n为3的时候,有哪几种情况。

当1为头结点的时候,其右子树有两个节点,看这两个节点的布局,是不是和 n 为2的时候两棵树的布局是一样的啊!

(可能有同学问了,这布局不一样啊,节点数值都不一样。别忘了我们就是求不同树的数量,并不用把搜索树都列出来,所以不用关心其具体数值的差异)

当3为头结点的时候,其左子树有两个节点,看这两个节点的布局,是不是和n为2的时候两棵树的布局也是一样的啊!

当2位头结点的时候,其左右子树都只有一个节点,布局是不是和n为1的时候只有一棵树的布局也是一样的啊!

发现到这里,其实我们就找到的重叠子问题了,其实也就是发现可以通过dp[1] 和 dp[2] 来推导出来dp[3]的某种方式。

思考到这里,这道题目就有眉目了。

dp[3],就是 元素1为头结点搜索树的数量 + 元素2为头结点搜索树的数量 + 元素3为头结点搜索树的数量

元素1为头结点搜索树的数量 = 右子树有2个元素的搜索树数量 * 左子树有0个元素的搜索树数量

元素2为头结点搜索树的数量 = 右子树有1个元素的搜索树数量 * 左子树有1个元素的搜索树数量

元素3为头结点搜索树的数量 = 右子树有0个元素的搜索树数量 * 左子树有2个元素的搜索树数量

有2个元素的搜索树数量就是dp[2]。

有1个元素的搜索树数量就是dp[1]。

有0个元素的搜索树数量就是dp[0]。

所以dp[3] = dp[2] * dp[0] + dp[1] * dp[1] + dp[0] * dp[2]

如图所示:

此时我们已经找到的递推关系了,那么可以用动规五部曲在系统分析一遍。

1.确定dp数组(dp table)以及下标的含义

dp[i] :1到i为节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i]。

也可以理解是i的不同元素节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i] ,都是一样的。

以下分析如果想不清楚,就来回想一下dp[i]的定义

2.确定递推公式

在上面的分析中,其实已经看出其递推关系, dp[i] += dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量]

j相当于是头结点的元素,从1遍历到i为止。

所以递推公式:dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]; ,j-1 为j为头结点左子树节点数量,i-j 为以j为头结点右子树节点数量

3.dp数组如何初始化

初始化,只需要初始化dp[0]就可以了,推导的基础,都是dp[0]。

那么dp[0]应该是多少呢?

从定义上来讲,空节点也是一颗二叉树,也是一颗二叉搜索树,这是可以说得通的。

从递归公式上来讲,dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量] 中以j为头结点左子树节点数量为0,也需要dp[以j为头结点左子树节点数量] = 1, 否则乘法的结果就都变成0了。

所以初始化dp[0] = 1

4.确定遍历顺序

首先一定是遍历节点数,从递归公式:dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]可以看出,节点数为i的状态是依靠 i之前节点数的状态。

那么遍历i里面每一个数作为头结点的状态,用j来遍历。

代码如下:

  1. for (int i = 1; i <= n; i++) { 
  2.     for (int j = 1; j <= i; j++) { 
  3.         dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]; 
  4.     } 

举例推导dp数组

n为5时候的dp数组状态如图:

当然如果自己画图举例的话,基本举例到n为3就可以了,n为4的时候,画图已经比较麻烦了。

我这里列到了n为5的情况,是为了方便大家 debug代码的时候,把dp数组打出来,看看哪里有问题。

综上分析完毕,C++代码如下:

  1. class Solution { 
  2. public
  3.     int numTrees(int n) { 
  4.         vector<int> dp(n + 1); 
  5.         dp[0] = 1; 
  6.         for (int i = 1; i <= n; i++) { 
  7.             for (int j = 1; j <= i; j++) { 
  8.                 dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]; 
  9.             } 
  10.         } 
  11.         return dp[n]; 
  12.     } 
  13. }; 
  • 时间复杂度O(n^2)
  • 空间复杂度O(n)

大家应该发现了,我们分析了这么多,最后代码却如此简单!

总结

这道题目虽然在力扣上标记是中等难度,但可以算是困难了!

首先这道题想到用动规的方法来解决,就不太好想,需要举例,画图,分析,才能找到递推的关系。

然后难点就是确定递推公式了,如果把递推公式想清楚了,遍历顺序和初始化,就是自然而然的事情了。

可以看出我依然还是用动规五部曲来进行分析,会把题目的方方面面都覆盖到!

而且具体这五部分析步骤是我自己平时总结的经验,网上找不出来第二个,可能过一阵子 其他题解也会有动规五部曲了,哈哈。

当时我在用动规五部曲讲解斐波那契的时候,一些录友和我反应,感觉讲复杂了。

其实当时我一直强调简单题是用来练习方法论的,并不能因为简单我就代码一甩,简单解释一下就完事了。

可能当时一些同学不理解,现在大家应该感受方法论的重要性了,加油??

本文转载自微信公众号「代码随想录」,可以通过以下二维码关注。转载本文请联系代码随想录公众号。

【编辑推荐】

  1. 图文理解 Spark 3.0 的动态分区裁剪优化
  2. VMware vSphere 的日常维护系列视频课程(15)动态增加vcenter磁盘空间
  3. 动态规划:整数拆分,你要怎么拆?
  4. 超全MyBatis动态代理详解!
  5. QRCanvas-动态生成二维码的开源优秀js库
【责任编辑:武晓燕 TEL:(010)68476606】

点赞 0
分享:
大家都在看
猜你喜欢

订阅专栏+更多

数据湖与数据仓库的分析实践攻略

数据湖与数据仓库的分析实践攻略

助力现代化数据管理:数据湖与数据仓库的分析实践攻略
共3章 | 创世达人

3人订阅学习

云原生架构实践

云原生架构实践

新技术引领移动互联网进入急速赛道
共3章 | KaliArch

30人订阅学习

数据中心和VPDN网络建设案例

数据中心和VPDN网络建设案例

漫画+案例
共20章 | 捷哥CCIE

209人订阅学习

订阅51CTO邮刊

点击这里查看样刊

订阅51CTO邮刊

51CTO服务号

51CTO官微