二叉搜索树的公共祖先问题！-二叉树最近公共祖先

[[420656]]

利用二叉搜索树的特性，会被如此简单的迭代法感动到痛哭流涕!

二叉搜索树的最近公共祖先

题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/lowest-common-ancestor-of-a-binary-search-tree/

给定一个二叉搜索树, 找到该树中两个指定节点的最近公共祖先。

百度百科中最近公共祖先的定义为：“对于有根树 T 的两个结点 p、q，最近公共祖先表示为一个结点 x，满足 x 是 p、q 的祖先且 x 的深度尽可能大(一个节点也可以是它自己的祖先)。”

例如，给定如下二叉搜索树: root = [6,2,8,0,4,7,9,null,null,3,5]

示例 1:

输入: root = [6,2,8,0,4,7,9,null,null,3,5], p = 2, q = 8
输出: 6
解释: 节点 2 和节点 8 的最近公共祖先是 6。

示例 2:

输入: root = [6,2,8,0,4,7,9,null,null,3,5], p = 2, q = 4
输出: 2
解释: 节点 2 和节点 4 的最近公共祖先是 2, 因为根据定义最近公共祖先节点可以为节点本身。

说明:

所有节点的值都是唯一的。
p、q 为不同节点且均存在于给定的二叉搜索树中。

思路

做过二叉树：公共祖先问题题目的同学应该知道，利用回溯从底向上搜索，遇到一个节点的左子树里有p，右子树里有q，那么当前节点就是最近公共祖先。

那么本题是二叉搜索树，二叉搜索树是有序的，那得好好利用一下这个特点。

在有序树里，如果判断一个节点的左子树里有p，右子树里有q呢?

其实只要从上到下遍历的时候，cur节点是数值在[p, q]区间中则说明该节点cur就是最近公共祖先了。

理解这一点，本题就很好解了。

和二叉树：公共祖先问题不同，普通二叉树求最近公共祖先需要使用回溯，从底向上来查找，二叉搜索树就不用了，因为搜索树有序(相当于自带方向)，那么只要从上向下遍历就可以了。

那么我们可以采用前序遍历(其实这里没有中节点的处理逻辑，遍历顺序无所谓了)。

如图所示：p为节点3，q为节点5

二叉搜索树的最近公共祖先

可以看出直接按照指定的方向，就可以找到节点4，为最近公共祖先，而且不需要遍历整棵树，找到结果直接返回!

递归法

递归三部曲如下：

确定递归函数返回值以及参数

参数就是当前节点，以及两个结点 p、q。

返回值是要返回最近公共祖先，所以是TreeNode * 。

代码如下：

TreeNode* traversal(TreeNode* cur, TreeNode* p, TreeNode* q)

确定终止条件

遇到空返回就可以了，代码如下：

if (cur == NULL) return cur;

其实都不需要这个终止条件，因为题目中说了p、q 为不同节点且均存在于给定的二叉搜索树中。也就是说一定会找到公共祖先的，所以并不存在遇到空的情况。

确定单层递归的逻辑

在遍历二叉搜索树的时候就是寻找区间[p->val, q->val](注意这里是左闭又闭)

那么如果 cur->val 大于 p->val，同时 cur->val 大于q->val，那么就应该向左遍历(说明目标区间在左子树上)。

需要注意的是此时不知道p和q谁大，所以两个都要判断

代码如下：

if (cur->val > p->val && cur->val > q->val) { 
    TreeNode* left = traversal(cur->left, p, q); 
    if (left != NULL) { 
        return left; 
    } 
}

细心的同学会发现，在这里调用递归函数的地方，把递归函数的返回值left，直接return。

在二叉树：公共祖先问题中，如果递归函数有返回值，如何区分要搜索一条边，还是搜索整个树。

搜索一条边的写法：

if (递归函数(root->left)) return ; 
if (递归函数(root->right)) return ;

搜索整个树写法：

left = 递归函数(root->left); 
right = 递归函数(root->right); 
left与right的逻辑处理;

本题就是标准的搜索一条边的写法，遇到递归函数的返回值，如果不为空，立刻返回。

如果 cur->val 小于 p->val，同时 cur->val 小于 q->val，那么就应该向右遍历(目标区间在右子树)。

if (cur->val < p->val && cur->val < q->val) { 
    TreeNode* right = traversal(cur->right, p, q); 
    if (right != NULL) { 
        return right; 
    } 
}

剩下的情况，就是cur节点在区间(p->val <= cur->val && cur->val <= q->val)或者 (q->val <= cur->val && cur->val <= p->val)中，那么cur就是最近公共祖先了，直接返回cur。

代码如下：

return cur;

那么整体递归代码如下:

class Solution { 
private: 
    TreeNode* traversal(TreeNode* cur, TreeNode* p, TreeNode* q) { 
        if (cur == NULL) return cur; 
                                                        // 中 
        if (cur->val > p->val && cur->val > q->val) {   // 左 
            TreeNode* left = traversal(cur->left, p, q); 
            if (left != NULL) { 
                return left; 
            } 
        } 
 
        if (cur->val < p->val && cur->val < q->val) {   // 右 
            TreeNode* right = traversal(cur->right, p, q); 
            if (right != NULL) { 
                return right; 
            } 
        } 
        return cur; 
    } 
public: 
    TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q) { 
        return traversal(root, p, q); 
    } 
};

精简后代码如下：

class Solution { 
public: 
    TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q) { 
        if (root->val > p->val && root->val > q->val) { 
            return lowestCommonAncestor(root->left, p, q); 
        } else if (root->val < p->val && root->val < q->val) { 
            return lowestCommonAncestor(root->right, p, q); 
        } else return root; 
    } 
};

迭代法

对于二叉搜索树的迭代法，大家应该在二叉树：二叉搜索树登场!就了解了。

利用其有序性，迭代的方式还是比较简单的，解题思路在递归中已经分析了。

迭代代码如下：

class Solution { 
public: 
    TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q) { 
        while(root) { 
            if (root->val > p->val && root->val > q->val) { 
                root = root->left; 
            } else if (root->val < p->val && root->val < q->val) { 
                root = root->right; 
            } else return root; 
        } 
        return NULL; 
    } 
};

灵魂拷问：是不是又被简单的迭代法感动到痛哭流涕?

总结

对于二叉搜索树的最近祖先问题，其实要比普通二叉树公共祖先问题简单的多。

不用使用回溯，二叉搜索树自带方向性，可以方便的从上向下查找目标区间，遇到目标区间内的节点，直接返回。

最后给出了对应的迭代法，二叉搜索树的迭代法甚至比递归更容易理解，也是因为其有序性(自带方向性)，按照目标区间找就行了。

其他语言版本

Java

迭代法：

class Solution { 
    public TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) { 
        while (true) { 
            if (root.val > p.val && root.val > q.val) { 
                root = root.left; 
            } else if (root.val < p.val && root.val < q.val) { 
                root = root.right; 
            } else { 
                break; 
            } 
        } 
        return root; 
    } 
}

Python

递归法：

class Solution: 
    def lowestCommonAncestor(self, root: 'TreeNode', p: 'TreeNode', q: 'TreeNode') -> 'TreeNode': 
        if not root: return root  //中 
        if root.val >p.val and root.val > q.val: 
            return self.lowestCommonAncestor(root.left,p,q)  //左 
        elif root.val < p.val and root.val < q.val: 
            return self.lowestCommonAncestor(root.right,p,q)  //右 
        else: return root