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Java数据结构与算法解析(八)——伸展树

伸展树(Splay Tree)是特殊的二叉查找树。它的特殊是指,它除了本身是棵二叉查找树之外,它还具备一个特点: 当某个节点被访问时,伸展树会通过旋转使该节点成为树根。这样做的好处是,下次要访问该节点时,能够迅速的访问到该节点。

作者:佚名来源:36大数据|2017-10-10 16:59

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Java数据结构与算法解析(八)——伸展树

伸展树简介

伸展树(Splay Tree)是特殊的二叉查找树。

它的特殊是指,它除了本身是棵二叉查找树之外,它还具备一个特点: 当某个节点被访问时,伸展树会通过旋转使该节点成为树根。这样做的好处是,下次要访问该节点时,能够迅速的访问到该节点。

特性

  1. 和普通的二叉查找树相比,具有任何情况下、任何操作的平摊O(log2n)的复杂度,时间性能上更好
  2. 和一般的平衡二叉树比如 红黑树、AVL树相比,维护更少的节点额外信息,空间性能更优,同时编程复杂度更低
  3. 在很多情况下,对于查找操作,后面的查询和之前的查询有很大的相关性。这样每次查询操作将被查到的节点旋转到树的根节点位置,这样下次查询操作可以很快的完成
  4. 可以完成对区间的查询、修改、删除等操作,可以实现线段树和树状数组的所有功能

旋转

伸展树实现O(log2n)量级的平摊复杂度依靠每次对伸展树进行查询、修改、删除操作之后,都进行旋转操作 Splay(x, root),该操作将节点x旋转到树的根部。

伸展树的旋转有六种类型,如果去掉镜像的重复,则为三种:zig(zag)、zig-zig(zag-zag)、zig-zag(zag-zig)。

1 自底向上的方式进行旋转

1.1 zig旋转

如图所示,x节点的父节点为y,x为y的左子节点,且y节点为根。则只需要对x节点进行一次右旋(zig操作),使之成为y的父节点,就可以使x成为伸展树的根节点。

1.2 zig-zig旋转

如上图所示,x节点的父节点y,y的父节点z,三者在一字型链上。此时,先对y节点和z节点进行zig旋转,然后再对x节点和y节点进行zig旋转,最后变为右图所示,x成为y和z的祖先节点。

1.3 zig-zag旋转

如上图所示,x节点的父节点y,y的父节点z,三者在之字型链上。此时,先对x节点和y节点进行zig旋转,然后再对x节点和y节点进行zag旋转,最后变为右图所示,x成为y和z的祖先节点。

2 自顶向下的方式进行旋转

这种方式不需要节点存储其父节点的引用。当我们沿着树向下搜索某个节点x时,将搜索路径上的节点及其子树移走。构建两棵临时的树——左树和右树。没有被移走的节点构成的树称为中树。

  1. 当前节点x是中树的根
  2. 左树L保存小于x的节点
  3. 右树R保存大于x的节点

开始时候,x是树T的根,左树L和右树R都为空。三种旋转操作:

2.1 zig旋转

如图所示,x节点的子节点y就是我们要找的节点,则只需要对y节点进行一次右旋(zig操作),使之成为x的父节点,就可以使y成为伸展树的根节点。将y作为中树的根,同时,x节点移动到右树R中,显然右树上的节点都大于所要查找的节点。

2.2 zig-zig旋转

如上图所示,x节点的左子节点y,y的左子节点z,三者在一字型链上,且要查找的节点位于z节点为根的子树中。此时,对x节点和y节点进行zig,然后对z和y进行zig,使z成为中树的根,同时将y及其子树挂载到右树R上。

2.3 zig-zag旋转

 

如上图所示,x节点的左子节点y,y的右子节点z,三者在之字型链上,且需要查找的元素位于以z为根的子树上。此时,先对x节点和y节点进行zig旋转,将x及其右子树挂载到右树R上,此时y成为中树的根节点;然后再对z节点和y节点进行zag旋转,使得z成为中树的根节点。

2.4 合并

最后,找到节点或者遇到空节点之后,需要对左、中、右树进行合并。如图所示,将左树挂载到中树的最左下方(满足遍历顺序要求),将右树挂载到中树的最右下方(满足遍历顺序要求)。

伸展树的实现

1.节点

  1. public class SplayTree<T extends Comparable<T>> { 
  2.     private SplayTreeNode<T> mRoot;    // 根结点 
  3.  
  4.     public class SplayTreeNode<T extends Comparable<T>> { 
  5.         T key;                // 关键字(键值) 
  6.         SplayTreeNode<T> left;    // 左孩子 
  7.         SplayTreeNode<T> right;    // 右孩子 
  8.  
  9.         public SplayTreeNode() { 
  10.             this.left = null
  11.             this.right = null
  12.         } 
  13.  
  14.         public SplayTreeNode(T key, SplayTreeNode<T> left, SplayTreeNode<T> right) { 
  15.             this.key = key
  16.             this.left = left
  17.             this.right = right
  18.         } 
  19.     } 
  20.  

SplayTree是伸展树,而SplayTreeNode是伸展树节点。在此,我将SplayTreeNode定义为SplayTree的内部类。在伸展树SplayTree中包含了伸展树的根节点mRoot。SplayTreeNode包括的几个组成元素:

  1. key – 是关键字,是用来对伸展树的节点进行排序的。
  2. left – 是左孩子。
  3. right – 是右孩子。

2.旋转

  1. /* 
  2. * 旋转key对应的节点为根节点,并返回根节点。 
  3. * 注意: 
  4. *   (a):伸展树中存在"键值为key的节点"。 
  5. *          将"键值为key的节点"旋转为根节点。 
  6. *   (b):伸展树中不存在"键值为key的节点",并且key < tree.key。 
  7. *      b-1 "键值为key的节点"的前驱节点存在的话,将"键值为key的节点"的前驱节点旋转为根节点。 
  8. *      b-2 "键值为key的节点"的前驱节点存在的话,则意味着,key比树中任何键值都小,那么此时,将最小节点旋转为根节点。 
  9. *   (c):伸展树中不存在"键值为key的节点",并且key > tree.key。 
  10. *      c-1 "键值为key的节点"的后继节点存在的话,将"键值为key的节点"的后继节点旋转为根节点。 
  11. *      c-2 "键值为key的节点"的后继节点不存在的话,则意味着,key比树中任何键值都大,那么此时,将最大节点旋转为根节点。 
  12. */ 
  13.    private SplayTreeNode<T> splay(SplayTreeNode<T> tree, T key) { 
  14.        if (tree == null
  15.            return tree; 
  16.  
  17.        SplayTreeNode<T> N = new SplayTreeNode<T>(); 
  18.        SplayTreeNode<T> l = N; 
  19.        SplayTreeNode<T> r = N; 
  20.        SplayTreeNode<T> c; 
  21.  
  22.        for (; ; ) { 
  23.            int cmp = key.compareTo(tree.key); 
  24.            if (cmp < 0) { 
  25.                if (key.compareTo(tree.left.key) < 0) { 
  26.                    c = tree.left;                           /* rotate right */ 
  27.                    tree.left = c.right
  28.                    c.right = tree; 
  29.                    tree = c; 
  30.                    if (tree.left == null
  31.                        break; 
  32.                } 
  33.                r.left = tree;                               /* link right */ 
  34.                r = tree; 
  35.                tree = tree.left
  36.            } else if (cmp > 0) { 
  37.  
  38.                if (tree.right == null
  39.                    break; 
  40.  
  41.                if (key.compareTo(tree.right.key) > 0) { 
  42.                    c = tree.right;                          /* rotate left */ 
  43.                    tree.right = c.left
  44.                    c.left = tree; 
  45.                    tree = c; 
  46.                    if (tree.right == null
  47.                        break; 
  48.                } 
  49.  
  50.                l.right = tree;                              /* link left */ 
  51.                l = tree; 
  52.                tree = tree.right
  53.            } else { 
  54.                break; 
  55.            } 
  56.        } 
  57.        l.right = tree.left;                                /* assemble */ 
  58.        r.left = tree.right
  59.        tree.left = N.right
  60.        tree.right = N.left
  61.  
  62.        return tree; 
  63.    } 
  64.  
  65.    public void splay(T key) { 
  66.        mRoot = splay(mRoot, key); 
  67.    }  

上面的代码的作用:将”键值为key的节点”旋转为根节点,并返回根节点。它的处理情况共包括:

(a):伸展树中存在”键值为key的节点”。

将”键值为key的节点”旋转为根节点。

(b):伸展树中不存在”键值为key的节点”,并且key < tree->key。

b-1) “键值为key的节点”的前驱节点存在的话,将”键值为key的节点”的前驱节点旋转为根节点。

b-2) “键值为key的节点”的前驱节点存在的话,则意味着,key比树中任何键值都小,那么此时,将最小节点旋转为根节点。

(c):伸展树中不存在”键值为key的节点”,并且key > tree->key。

c-1) “键值为key的节点”的后继节点存在的话,将”键值为key的节点”的后继节点旋转为根节点。

c-2) “键值为key的节点”的后继节点不存在的话,则意味着,key比树中任何键值都大,那么此时,将最大节点旋转为根节点。

下面列举个例子分别对a进行说明。

在下面的伸展树中查找10,,共包括”右旋” –> “右链接” –> “组合”这3步。

01, 右旋

对应代码中的”rotate right”部分

02, 右链接

对应代码中的”link right”部分

03.组合

对应代码中的”assemble”部分

提示:如果在上面的伸展树中查找”70”,则正好与”示例1”对称,而对应的操作则分别是”rotate left”, “link left”和”assemble”。

其它的情况,例如”查找15是b-1的情况,查找5是b-2的情况”等等,这些都比较简单,大家可以自己分析。

3.插入

  1. /** 
  2.      * 将结点插入到伸展树中,并返回根节点 
  3.      * @param tree 伸展树的根节点 
  4.      * @param z 插入的结点 
  5.      * @return 
  6.      */ 
  7.     private SplayTreeNode<T> insert(SplayTreeNode<T> tree, SplayTreeNode<T> z) { 
  8.         int cmp; 
  9.         SplayTreeNode<T> y = null
  10.         SplayTreeNode<T> x = tree; 
  11.  
  12.         // 查找z的插入位置 
  13.         while (x != null) { 
  14.             y = x; 
  15.             cmp = z.key.compareTo(x.key); 
  16.             if (cmp < 0) 
  17.                 x = x.left
  18.             else if (cmp > 0) 
  19.                 x = x.right
  20.             else { 
  21.                 System.out.printf("不允许插入相同节点(%d)!\n", z.key); 
  22.                 z = null
  23.                 return tree; 
  24.             } 
  25.         } 
  26.  
  27.         if (y == null
  28.             tree = z; 
  29.         else { 
  30.             cmp = z.key.compareTo(y.key); 
  31.             if (cmp < 0) 
  32.                 y.left = z; 
  33.             else 
  34.                 y.right = z; 
  35.         } 
  36.  
  37.         return tree; 
  38.     } 
  39.  
  40.     public void insert(T key) { 
  41.         SplayTreeNode<T> z = new SplayTreeNode<T>(keynullnull); 
  42.  
  43.         // 如果新建结点失败,则返回。 
  44.         if ((z = new SplayTreeNode<T>(keynullnull)) == null
  45.             return
  46.  
  47.         // 插入节点 
  48.         mRoot = insert(mRoot, z); 
  49.         // 将节点(key)旋转为根节点 
  50.         mRoot = splay(mRoot, key); 
  51.     }  

insert(key)是提供给外部的接口,它的作用是新建节点(节点的键值为key),并将节点插入到伸展树中;然后,将该节点旋转为根节点。

insert(tree, z)是内部接口,它的作用是将节点z插入到tree中。insert(tree, z)在将z插入到tree中时,仅仅只将tree当作是一棵二叉查找树,而且不允许插入相同节点。

4.删除

  1. /** 
  2.      *  
  3.      * @param tree 伸展树 
  4.      * @param key 删除的结点 
  5.      * @return 
  6.      */ 
  7.     private SplayTreeNode<T> remove(SplayTreeNode<T> tree, T key) { 
  8.         SplayTreeNode<T> x; 
  9.  
  10.         if (tree == null
  11.             return null
  12.  
  13.         // 查找键值为key的节点,找不到的话直接返回。 
  14.         if (search(tree, key) == null
  15.             return tree; 
  16.  
  17.         // 将key对应的节点旋转为根节点。 
  18.         tree = splay(tree, key); 
  19.  
  20.         if (tree.left != null) { 
  21.             // 将"tree的前驱节点"旋转为根节点 
  22.             x = splay(tree.leftkey); 
  23.             // 移除tree节点 
  24.             x.right = tree.right
  25.         } 
  26.         else 
  27.             x = tree.right
  28.  
  29.         tree = null
  30.  
  31.         return x; 
  32.     } 
  33.  
  34.     public void remove(T key) { 
  35.         mRoot = remove(mRoot, key); 
  36.     }  

remove(key)是外部接口,remove(tree, key)是内部接口。

remove(tree, key)的作用是:删除伸展树中键值为key的节点。

它会先在伸展树中查找键值为key的节点。若没有找到的话,则直接返回。若找到的话,则将该节点旋转为根节点,然后再删除该节点。

伸展树实现完整代码

  1. public class SplayTree<T extends Comparable<T>> {     
  2. private SplayTreeNode<T> mRoot;    // 根结点 
  3.  
  4.     public class SplayTreeNode<T extends Comparable<T>> { 
  5.         T key;                // 关键字(键值) 
  6.         SplayTreeNode<T> left;    // 左孩子 
  7.         SplayTreeNode<T> right;    // 右孩子 
  8.  
  9.         public SplayTreeNode() { 
  10.             this.left = null
  11.             this.right = null
  12.         } 
  13.  
  14.         public SplayTreeNode(T key, SplayTreeNode<T> left, SplayTreeNode<T> right) { 
  15.             this.key = key
  16.             this.left = left
  17.             this.right = right
  18.         } 
  19.     } 
  20.  
  21.     /* 
  22.  * 旋转key对应的节点为根节点,并返回根节点。 
  23.  * 
  24.  * 注意: 
  25.  *   (a):伸展树中存在"键值为key的节点"。 
  26.  *          将"键值为key的节点"旋转为根节点。 
  27.  *   (b):伸展树中不存在"键值为key的节点",并且key < tree.key。 
  28.  *      b-1 "键值为key的节点"的前驱节点存在的话,将"键值为key的节点"的前驱节点旋转为根节点。 
  29.  *      b-2 "键值为key的节点"的前驱节点存在的话,则意味着,key比树中任何键值都小,那么此时,将最小节点旋转为根节点。 
  30.  *   (c):伸展树中不存在"键值为key的节点",并且key > tree.key。 
  31.  *      c-1 "键值为key的节点"的后继节点存在的话,将"键值为key的节点"的后继节点旋转为根节点。 
  32.  *      c-2 "键值为key的节点"的后继节点不存在的话,则意味着,key比树中任何键值都大,那么此时,将最大节点旋转为根节点。 
  33.  */ 
  34.     private SplayTreeNode<T> splay(SplayTreeNode<T> tree, T key) { 
  35.         if (tree == null
  36.             return tree; 
  37.  
  38.         SplayTreeNode<T> N = new SplayTreeNode<T>(); 
  39.         SplayTreeNode<T> l = N; 
  40.         SplayTreeNode<T> r = N; 
  41.         SplayTreeNode<T> c; 
  42.  
  43.         for (; ; ) { 
  44.             int cmp = key.compareTo(tree.key); 
  45.             if (cmp < 0) { 
  46.                 if (key.compareTo(tree.left.key) < 0) { 
  47.                     c = tree.left;                           /* rotate right */ 
  48.                     tree.left = c.right
  49.                     c.right = tree; 
  50.                     tree = c; 
  51.                     if (tree.left == null
  52.                         break; 
  53.                 } 
  54.                 r.left = tree;                               /* link right */ 
  55.                 r = tree; 
  56.                 tree = tree.left
  57.             } else if (cmp > 0) { 
  58.  
  59.                 if (tree.right == null
  60.                     break; 
  61.  
  62.                 if (key.compareTo(tree.right.key) > 0) { 
  63.                     c = tree.right;                          /* rotate left */ 
  64.                     tree.right = c.left
  65.                     c.left = tree; 
  66.                     tree = c; 
  67.                     if (tree.right == null
  68.                         break; 
  69.                 } 
  70.  
  71.                 l.right = tree;                              /* link left */ 
  72.                 l = tree; 
  73.                 tree = tree.right
  74.             } else { 
  75.                 break; 
  76.             } 
  77.         } 
  78.         l.right = tree.left;                                /* assemble */ 
  79.         r.left = tree.right
  80.         tree.left = N.right
  81.         tree.right = N.left
  82.  
  83.         return tree; 
  84.     } 
  85.  
  86.     public void splay(T key) { 
  87.         mRoot = splay(mRoot, key); 
  88.     } 
  89.  
  90.  
  91.  
  92.     /** 
  93.      * 将结点插入到伸展树中,并返回根节点 
  94.      * @param tree 伸展树的根节点 
  95.      * @param z 插入的结点 
  96.      * @return 
  97.      */ 
  98.     private SplayTreeNode<T> insert(SplayTreeNode<T> tree, SplayTreeNode<T> z) { 
  99.         int cmp; 
  100.         SplayTreeNode<T> y = null
  101.         SplayTreeNode<T> x = tree; 
  102.  
  103.         // 查找z的插入位置 
  104.         while (x != null) { 
  105.             y = x; 
  106.             cmp = z.key.compareTo(x.key); 
  107.             if (cmp < 0) 
  108.                 x = x.left
  109.             else if (cmp > 0) 
  110.                 x = x.right
  111.             else { 
  112.                 System.out.printf("不允许插入相同节点(%d)!\n", z.key); 
  113.                 z = null
  114.                 return tree; 
  115.             } 
  116.         } 
  117.  
  118.         if (y == null
  119.             tree = z; 
  120.         else { 
  121.             cmp = z.key.compareTo(y.key); 
  122.             if (cmp < 0) 
  123.                 y.left = z; 
  124.             else 
  125.                 y.right = z; 
  126.         } 
  127.  
  128.         return tree; 
  129.     } 
  130.  
  131.     public void insert(T key) { 
  132.         SplayTreeNode<T> z = new SplayTreeNode<T>(keynullnull); 
  133.  
  134.         // 如果新建结点失败,则返回。 
  135.         if ((z = new SplayTreeNode<T>(keynullnull)) == null
  136.             return
  137.  
  138.         // 插入节点 
  139.         mRoot = insert(mRoot, z); 
  140.         // 将节点(key)旋转为根节点 
  141.         mRoot = splay(mRoot, key); 
  142.     } 
  143.  
  144.     /* 
  145.  * 删除结点(z),并返回被删除的结点 
  146.  * 
  147.  * 参数说明: 
  148.  *     bst 伸展树 
  149.  *     z 删除的结点 
  150.  */ 
  151.  
  152.     /** 
  153.      * 
  154.      * @param tree 伸展树 
  155.      * @param key 删除的结点 
  156.      * @return 
  157.      */ 
  158.     private SplayTreeNode<T> remove(SplayTreeNode<T> tree, T key) { 
  159.         SplayTreeNode<T> x; 
  160.  
  161.         if (tree == null
  162.             return null
  163.  
  164.         // 查找键值为key的节点,找不到的话直接返回。 
  165.         if (search(tree, key) == null
  166.             return tree; 
  167.  
  168.         // 将key对应的节点旋转为根节点。 
  169.         tree = splay(tree, key); 
  170.  
  171.         if (tree.left != null) { 
  172.             // 将"tree的前驱节点"旋转为根节点 
  173.             x = splay(tree.leftkey); 
  174.             // 移除tree节点 
  175.             x.right = tree.right
  176.         } 
  177.         else 
  178.             x = tree.right
  179.  
  180.         tree = null
  181.  
  182.         return x; 
  183.     } 
  184.  
  185.     public void remove(T key) { 
  186.         mRoot = remove(mRoot, key); 
  187.     } 
  188.  
  189.     /* 
  190.     * (递归实现)查找"伸展树x"中键值为key的节点 
  191.     */ 
  192.     private SplayTreeNode<T> search(SplayTreeNode<T> x, T key) { 
  193.         if (x==null
  194.             return x; 
  195.  
  196.         int cmp = key.compareTo(x.key); 
  197.         if (cmp < 0) 
  198.             return search(x.leftkey); 
  199.         else if (cmp > 0) 
  200.             return search(x.rightkey); 
  201.         else 
  202.             return x; 
  203.     } 
  204.  
  205.     public SplayTreeNode<T> search(T key) { 
  206.         return search(mRoot, key); 
  207.     } 
  208.  
  209.     /* 
  210.    * 查找最小结点:返回tree为根结点的伸展树的最小结点。 
  211.    */ 
  212.     private SplayTreeNode<T> minimum(SplayTreeNode<T> tree) { 
  213.         if (tree == null
  214.             return null
  215.  
  216.         while(tree.left != null
  217.             tree = tree.left
  218.         return tree; 
  219.     } 
  220.  
  221.     public T minimum() { 
  222.         SplayTreeNode<T> p = minimum(mRoot); 
  223.         if (p != null
  224.             return p.key
  225.  
  226.         return null
  227.     } 
  228.  
  229.     /* 
  230.      * 查找最大结点:返回tree为根结点的伸展树的最大结点。 
  231.      */ 
  232.     private SplayTreeNode<T> maximum(SplayTreeNode<T> tree) { 
  233.         if (tree == null
  234.             return null
  235.  
  236.         while(tree.right != null
  237.             tree = tree.right
  238.         return tree; 
  239.     } 
  240.  
  241.     public T maximum() { 
  242.         SplayTreeNode<T> p = maximum(mRoot); 
  243.         if (p != null
  244.             return p.key
  245.  
  246.         return null
  247.     }  

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